수학(하) 기말고사 대비 문제풀이 -2

이번에는 유리함수의 대칭성을 이용한 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

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이 문제의 경우 1학기때 학습한 근과 계수와의 관계와 곱셈공식의 변형을 이용하면, 계산식이 덜 복잡하여 문제를 풀다가 실수할 확률이 적어집니다.

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주어진 식에서 f(x) 가 일차함수라 하였으므로, f(x) =ax+b 라 놓고, f(1)=3이라 하였으므로, x자리에 1을 대입하면 f(1)= a+b = 3이 됩니다.

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또한 f(2x)=2f(x)라 하였으므로, 주어진 식에 대입하면 2ax+b =2(ax+b) 가 되어, 양변을 정리하면 b= 2b 가 되어 결국 b=0, a=3이 됩니다. 따라서 최종적으로 f(x) = 3x 라는 식이 얻어집니다.

 

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g(x)와 y= -x-2가 만나는 그래프의 모양을 살펴보면 다음과 같습니다

 

 

 

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이 식은 한눈에 보더라도 인수분해가 되지 않습니다.

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그렇다면 근의 공식을 이용해서 교점의 좌표를 찾고, 점과 점사이의 거리공식을 이용해서 답을 찾아야 할까요??

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물론 그렇게 하더라도 답은 구해지고, 실제 그렇게 풀이하시는 분들도 계십니다.

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하지만, 근의 공식을 사용하면 루트가 포함된 근이 나오고, 이걸 거리 공식에 넣어서 계산하니 다소 부담스럽습니다.

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그래서 저는 근과 계수와의 관계와 곱셈공식의 응용을 이용하도록 하겠습니다.

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쎈 고등 수학(상)(2022)

 

여기서 점 (-3,1)은 대칭점입니다. 따라서 직선 y= -x-2와 g(x) 만나는 두 점의 중점이기도 합니다.

 

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그렇다면 직선이 g(x)와 만나는 두 점사이의 거리를 구한후 그것을 반으로 나누면 우리가 원하는 정답이 

나옵니다.

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개념쎈라이트 고등 수학(상)(2022)

 

이처럼 근과 계수와의 관계와 곱셈공식을 잘 활용하면, 복잡한 수식을 피하면서도 보다 빠르게 정답을 구할 수 있습니다.

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기말고사를 준비하시는 고등학생분들께 조금이나마 도움이 됬으면으면하는 바람으로 풀이를 해봤습니다.